每一個控制系統的用戶/設計人員，都經常會被問到同一個問題：哪種控制方法最好。現在，比幾十年前有了更多的選擇，控制方法的問題尤為重要。很久以前，“黃金”解決方案(實際上是唯一的)是比例-積分-微分(PID)控制器。雖然PID控制本身沒有什么問題，但實際存在的限制使其它控制方法在許多應用中更受歡迎。現在，還有哪些控制方法可供選擇？
除了經典的PID控制外，本文還研究了最優控制、模糊控制和人工神經網絡(或基于神經網絡的控制)。在工廠應用的受控系統分析中，可以看到經典PID控制器的局限性。雖然可以有很多應用領域，但本文分析聚焦于位置伺服機構，此類裝置廣泛應用于工業機器人、自動駕駛車輛和許多其它(不僅是在工業領域)應用。
1、位置伺服系統識別
如果受控系統是基于恒定勵磁(例如永磁體)的直流電機的伺服機構，則可以通過簡化的傳遞函數來描述，在s域中電壓的角位移為：
其中：K代表電機扭矩常數；T代表電機的機械參數：J/B，其中J是包括負載在內的總慣性，s表示電機阻尼；Ti代表積分常數(由電機轉速和傳動比確定)。
上面的傳遞函數代表與積分器組合的一階系統。理論上，還有另一個一階、低通濾波器，其時間常數等于電機繞組電感和電阻的比值；這個時間常數明顯小于主時間常數T，因此不必考慮它。
如果您是電機用戶，而不是電機設計師，那么通過實驗測量其在開環中的響應來找到(主)時間常數可能會更簡單。為此，向伺服系統施加一定的驅動變量(電壓，VIN)，例如，相當于最大伺服速度的50%。伺服系統負載必須是正常工作條件下的滿載。掃描伺服機構的位置響應，并在其到達最大位置之前將其關閉。可能產生的測量值如圖1所示。
圖1：控制系統設計圖展示了開環伺服系統的響應特性
根據上述特性，并通過輸入值(例如，對應于最大伺服速度50%的階躍函數VIN)，確定典型伺服系統的一階非靜態(積分器與一階滯后相結合)傳遞函數的T和Ti常數。伺服電機和伺服驅動運動控制系統，可以使用下述的各種閉環控制，包括方程、案例、圖形、表格。
2、如何應用PID控制器？
PID補償是最常見的閉環控制形式之一。為什么它如此受歡迎？在大多數應用中，受控過程可以通過一階或二階傳遞函數進行建模。PID控制器可以消除或至少顯著補償傳遞函數的兩個極點。PID控制器在s域中的傳遞函數(U(s))/(E(s))可以表示如下：
現在，讓我們假設一個受控系統，它可以用一階非靜態傳遞函數來近似表示：
控制系統的開環傳遞函數(Y(s))/(E(s))，等于
為什么使用PD而不是PID？首先，請注意，在完整的PID控制器中，積分部分是缺失的。為什么？因為積分器已經存在于受控的伺服系統中。在最佳調諧的控制系統中，比率KD/KP必須與τ1時間常數相匹配，因此開環傳遞函數將減小到：(KPK)/(sτ2)。理想調諧PD控制系統的閉環傳遞函數 (Y(s))/(R(s))，等于：
這對應于具有時間常數τ的單極傳遞函數，相當于τ2/(KPK)，其中τ2是積分時間常數，KP是控制器的比例常數，K是受控系統的增益。然而，如果通過使用如圖1所示的響應特性找到時間常數，則增益(即常數K)值變為1.0。則閉環傳遞函數時間常數τ等于τ2/KP。這非常好，因為通過使ΚP足夠大，可以從閉環控制系統獲得更快的時間響應。實際上，“足夠大”可以提供5到10倍的響應速度。KP值越高，反應越不穩定。記住，在近似的系統參數中，實際值肯定會不同。
然而，這種最佳調諧的P(I)D控制器有其缺點。觀察P(I)D控制器的輸出(驅動)變量：一開始它幾乎達到極限值，然后迅速下降，但在相當長的一段時間內，仍遠遠高于這種受控系統(伺服機構)所能承受的水平。想象一下，伺服電機的運行電壓為24V，最初獲得的電壓會高達數千伏，隨后穩定在數百伏。沒有控制器能夠驅動如此高的電壓，即使能驅動，電機也無法承受如此高的壓力。因此，在控制器中添加限制器，可確保驅動變量不會超過受控系統(在這種情況下為直流電機)可接受的最大值。伺服機構的最終PID控制配置如圖2所示。
圖2：控制系統設計圖展示了位置伺服系統的PID控制
在本文的最后，會比較PID控制器與其它控制器的性能。具有無限驅動變量的最佳調諧PD控制器(即理想控制器)，其輸出特性如圖8中黃色線所示；實際輸出(驅動變量限于最大可接受值)則以紅色線表示。
3、應用時間最優控制
幾十年來，最優控制一直是廣泛研究的主題。關于最優控制的一些基本觀點值得回顧，我們可以用一個例子來更好地理解時間最優控制。
假設一個帶有直流電機的常用電動伺服機構。手頭的任務是控制伺服，使其在最短的時間內到達新的參考點。如果必須應用實際驅動變量，優化的PID控制器將無法實現這一目標。直覺反應是向直流電機施加最大可接受電壓，并讓電機全速前進。
然后，在某一時間點改變電壓極性，使電機開始以最大可能的速度減速。稍后，當電機速度為零時，關閉電壓。如果電壓極性在合適的時點改變，那么，在電機停止運行的瞬間，伺服將準確地停在所需的位置。這被稱為最優控制。在這種情況下，因為時間是該最優控制的標準，所以這種控制被稱為時間最優控制。
4、查找開關曲線的形狀
圖3展示了在狀態空間中的時間最優控制過程，在這種情況下，狀態空間是二維空間(區域)；一個維度是輸出變量，另一個維度則是其(時間的)導數。在應用新參考值時，輸出變量沿水平軸移動，因此它代表調節誤差(err)，即參考值與實際輸出值之間的差值。同時在t0時刻，向直流電機施加最大電壓。伺服離開其初始位置P0，并開始加速。在時間點t1，控制器改變電壓極性，電機速度很快開始下降。在時間點t2，電機速度變為零并且達到期望位置P2，驅動變量電壓被關閉。雖然這看起來很簡單，但獲得開關曲線的形狀并不是那么簡單。
圖3：控制系統設計圖展示了狀態空間中的時間最優控制
如果受控系統是具有簡化傳遞函數的伺服機構，則s域中電壓的角位移為：
那么一個完整的、時間最優的控制系統可以用圖4所示的框圖表示。
圖4：控制系統設計圖展示了伺服機構的時間最優控制系統
該控制方案與PID控制完全不同。這是一種非線性控制，因為第二個非線性部分N2代表的是繼電器：提供驅動變量±U值，所以這種控制被稱為開關控制。N1是開關曲線的第一個非線性部分，調節誤差E的“sqrt”平方根函數，提供了相當合理的結果。在實踐中，總是很難找到精確的開關曲線，因此，控制器可能一直在其最大值和最小值之間切換驅動電壓。為了避免這種情況的發生，需要為繼電器增加死區。
在本文的最后，讓我們看看與其它類型的控制器相比，這種時間最優控制器的性能如何。其輸出變量函數以圖8中亮藍色線表示。
5、如何應用模糊控制？
模糊控制是另一種非線性控制方法，對于難以分析的受控系統，或在設計時動態行為未知的受控系統，它是非常好的解決方案。模糊控制可以與“次優”時間最優控制相比較(它可以提供比最優結果較差的結果)，盡管它們仍然可以是非常好的。在這種具有位置伺服機構控制的特殊情況下，可以采用圖5中的控制方案(圖5)進行模糊控制。
圖5：控制系統設計圖展示了伺服機構的模糊控制系統。
模糊控制可以看作是模糊邏輯的擴展或修改。第一階段，模糊邏輯(在一個被稱為模糊化的過程中)將“清晰”的輸入變量轉換為“模糊”的集合。第二階段，它處理這些模糊集。最后，在一個被稱為去模糊化的過程中，將處理后的模糊集轉換為清晰的輸出變量。
對于輸入變量的模糊化，例如，選擇一組lambda形狀_/_的5個成員函數。為了使控制過程更好(更精細)，在本文案例中使用了7個成員函數。它們涵蓋了調節誤差、誤差及其導數和狀態變量，這些變量值處于-1000到+1000之間。它們可以被稱為：高負(HN)，中等負(MN)，低負(LN)，小(S)，低正(LP)，中等正(MP)和高正(LP)。輸出(驅動)變量模糊化，使用了7個類似的級別：全負(FN)，中等負(MN)，低負(LN)，零(Z)，低正(LP)，中等正(MP)和全正(FP)。
圖6：在控制系統設計中，參考模糊控制知識庫很有幫助
處理模糊集是模糊控制最關鍵的階段。它由模糊控制知識庫“控制”。圖6展示了適用的知識庫。注意err和der輸入變量是如何量化的。它們的分布函數不是等距分布的；err成員函數被更多地“推向”中心(S)，而der成員函數則被更多地推向最高值。為什么這種安排更好？檢查知識庫中的輸出變量分布提供了答案。考察零(Z)級。它們的配置為：緊密地跟隨誤差的平方根函數err的輸出，這是可能是對時間最優控制中使用的開關曲線的最佳仿真。接下來，看看與其它控制器相比，模糊控制器的性能如何，其輸出變量的形狀以圖8中橙色線表示。
6、應用基于神經網絡的控制
在控制系統中使用人工神經網絡(ANN)有無數種可能性。其中，很多使用基于神經網絡的受控系統(工廠)模型，或對其逆動態進行建模，與經典PID控制器相結合，有助于創建自適應和其它更復雜的控制系統。
通過訓練這種神經網絡，模擬位置伺服系統的開關曲線可以嘗試一種不同的方法。正如之前所了解的，通過使用時間最優控制可以實現最快速的伺服機構運動。開關曲線最關鍵的一個方面，是使用調節誤差的平方根函數。甚至是模糊控制器，也被“調諧”以模擬該平方根函數。
然而，由于實際開關曲線仍然可以與sqrt()函數的近似值不同。有沒有辦法找到位置伺服機構的實際開關曲線？答案是肯定的。可以找到位置伺服機構的實際開關曲線，“訓練”ANN記住它并按需生成它。更進一步，可以訓練ANN來接管整個開關控制器。
開關曲線是關于[err，der]對值的序列，伺服電機驅動器對可施加到電機的額定(最大)電壓進行極性轉換。通過在開環中運行伺服機構(即無反饋)，測量并記錄其位置(err)和速度(der)來查找相應的值。
首先，準備一系列預期的伺服機構速度(der)值，從最低值到最高值。現在，將正的最大驅動變量(電壓+U)施加到電機上，并讓其運行，直到伺服機構達到該系列中的第一個預期der值。重要提示：記錄與P1相同時刻的伺服位置，同時將執行變量轉換為-U值。當der降至零時，關閉電壓并將當前位置記錄為P2。該過程提供了第一個開關曲線點的第一對[err，der]坐標(其中err=P2–P1)。當然，伺服機構必須完全按照預期使用的方式滿載運行。
[err，der]坐標序列表示開關曲線點。為了獲得最佳結果，沿der軸均勻分布大約50個坐標(對)。然后訓練一個合適的神經網絡，使用這些開關點將執行變量傳送到伺服機構。即使是最簡單的具有一個隱藏層和大約12個節點的ANN也可以實現這種功能。
圖7展示了一個輸出值表，可用于訓練ANN控制器。在捕獲開關曲線點之后，需要離線訓練ANN控制器，即不直接在物理控制系統實體上進行訓練。從捕獲的坐標序列的底部(或頂部)開始，對于每個單獨的der輸入，您需要生成多個err值(從-max到+max)，并向[err，der]坐標的每個組合提供(到ANN輸出)特定的輸出值。開關曲線的所有輸出值對應負的最大驅動值；開關曲線右側的所有輸出值對應為正的最大值。誤差坐標離開關曲線越遠，需要提供的±U值就越少，因為輸出曲線保持平坦。
圖7：這個簡單的人工神經網絡訓練數據表，有助于 ANN 控制系統的設計。
此訓練數據表與模糊系統的知識庫非常相似。起初，只使用狀態空間的上半部分來訓練ANN控制器。當伺服必須沿相反方向移動時，ANN控制器將僅交換輸出值。然而，如果伺服系統在兩個運動方向上的行為不相同，則必須在整個狀態空間內，對ANN控制器進行行為訓練。基于神經網絡的控制系統如何與其它系統競爭？可查看其輸出變量的形狀，如圖8中白色線展示。
7、四種控制方法的比較
使用Python的屏幕截圖(圖8)展示了模擬伺服機構及其控制器的結果。伺服機構的傳遞函數近似為1/((1+s100)s200)，其中時間常數以樣本數表示。階躍函數(期望的伺服系統位置)是從0到800(其中1000是期望位置和驅動變量的最大值)生成的，在1000個樣本之后，它從800下降到400。輸入階躍函數在圖8中以綠色線表示。
圖8還展示了各個控制系統的運行情況。第一個是最佳調諧的PD控制器，它對階躍函數做出即時反應。它的KP參數設置為5。但這實際上只是一個理想的PD控制。這些實際最佳調諧PD控制器具有有限驅動變量，其行為如紅色曲線所示。與其它控制器相比，它實際上是表現最差(最慢)的。然而，如果調整得當，它不會超調，這在某些應用中可能非常重要。
圖8：此圖比較了不同的控制方法，以幫助確定應用的最佳狀態。包括最優控制(藍色線)、模糊控制(橙色線)、人工神經網絡(白色線)和 PID 控制(黃色和紅色線)。
表現最好(最快)的控制器是基于ANN的控制器(如白色曲線所示)。這并不奇怪；神經網絡經過訓練，可以模擬精確的開關曲線，因此它表現為一個完美的、時間最優的控制系統。
通過sqrt(e)函數來模擬開關曲線的經典時間最優控制器(藍色線)表現稍差(較慢)。不過，考慮到其實施非常簡單，因此不應對其性能有太多抱怨。
在這種特殊情況下，模糊控制器(橙色線)表現不佳。不過，它沒有調整到最佳性能(僅進行了初始調整以大致模擬開關曲線)，因此其性能有進一步提高的空間。理論上，模糊控制器的性能不應比經典的時間最優控制器差。
這個特定案例驗證了神經網絡在工業控制中的應用。然而，如果系統“在運行中”改變行為/參數，則需要一個更能容忍這種變化的控制器。容差是模糊控制器的亮點。最令人驚訝的發現之一是：50多年前在大學里學習的經典時間最優控制器(基于sqrt()函數)，仍然可以很好地運行。
